【题目】

学校师生合影，共8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的合影方式？

【考点】

排列组合。

参考：https://code.weblog.org/c61c7b5ad8496c8b

插入法：对于要求某几个元素不相邻的问题，可以考虑先排好其他的元素；而对于不相邻的元素从其他元素排好后的的序列中枚举空位插入。

【解析（1）】

思路：
1. 先把8个学生排好，形成9个空档。
2. 老师在学生们中间，不在两端，因此只有7个空档可用。
3. 老师互不相邻，用插空法。
4. 在7个空档中选4个空档插入4个老师。
5. 考虑到老师各不相同，因此是有顺序的。与顺序有关的用排列，与顺序无关的用组合。

根据乘法原理：

\(N={A_8^8}\ast{A_7^4}\)

【解析（2）】

思路：
1. 先把8个学生排好，形成9个空档。
2. 老师在学生们中间，不在两端，因此只有7个空档可用。
3. 老师互不相邻，用插空法。
4. 从7个空档中先选出4个空档 C(7,4)。
5. 4个空档对应4个老师 A(4,4)。

\(N={A_8^8}\astC_7^4}\ast{A_4^4}\)