原文：https://blog.csdn.net/ChineseSoftware/article/details/122573570
一、简述
算法的优劣，有两个重要的衡量维度：
1. 时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，通常用时间复杂度（Time Complexity）来描述。
2. 空间维度：是指执行当前算法所占用的内存，通常用空间复杂度（Space Complexity）来描述。
因此，评价一个算法的效率主要是看它的时间复杂度和空间复杂度情况。时间复杂度不是用来计算程序具体耗时的，空间复杂度也不是用来计算程序实际占用的空间的。
二、时间复杂度
\(T(n) = O(f(n))\)
算法的时间复杂度，很多人以为就是该算法程序的运行时间。
然而：
1. 这种结果非常容易受运行环境的影响，在性能高的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑的结果相差会很大。
2. 与测试时使用的数据规模也有很大关系。
因此，更为通用的方法就应运而生：「 大O符号表示法 」：
\(T(n) = O(f(n))\)
f(n) 表示每行代码执行次数之和。
O 表示正比例关系
公式的全称是：算法的渐进时间复杂度。
先看个例子：
for(i=1; i<=n; ++i)
{
j = i;
j++;
}
这段代码的时间复杂度为：O(n)，为什么呢？假设每行代码的执行时间都是一样的，用 1 个单位时间来表示，那么这个例子的第一行耗时是 1 个单位时间，第三行的执行时间是 n 个单位时间，第四行的执行时间也是 n个单位时间(第二行和第五行是符号，忽略)，那么总时间就是 1 个单位时间 + n 个单位时间 + n 个单位时间 ，即 (1+2n)个单位时间，即： T(n) = (1+2n)*单位时间，由此看出，该算法的耗时是随着 n 的变化而变化。因此，可以将这个算法的时间复杂度简化的表示为：T(n) = O(n)。
因为大 O 符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。所以如果 n 无限大的时候，T(n) = time(1+2n) 中的常量 1 就没有意义了，倍数 2 也意义不大。因此直接简化为 T(n) = O(n) 就可以了。
按时间复杂度越来越大，执行的效率越来越低排序，常见的量级有：
①常数阶O(1)
②对数阶O(logN)
③线性阶O(n)
④线性对数阶O(nlogN)
⑤平方阶O(n²)
⑥立方阶O(n³)
⑦K次方阶O(n^k)
⑧指数阶(2^n)
1️⃣常数阶O(1)
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)，如：
int i = 1; int j = 2; ++i; j++; int m = i + j;
上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2️⃣线性阶O(n)
这个就是最开始的示例，如：
for(i=1; i<=n; ++i)
{
j = i;
j++;
}
这段代码，for 循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。
3️⃣对数阶O(logN)
看代码：
int i = 1;
while(i<n)
{
i = i * 2;
}
while 循环里，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环 x 次之后，i 就大于 n 了，此时循环退出，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2^n。也就是说当循环 log2^n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(logn)。
4️⃣线性对数阶O(nlogN)
将时间复杂度为O(logn)的代码循环 n 遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。如：
for(m=1; m<n; m++)
{
i = 1;
while(i<n)
{
i = i * 2;
}
}
5️⃣平方阶O(n²)
如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。如：
for(x=1; i<=n; x++)
{
for(i=1; i<=n; i++)
{
j = i;
j++;
}
}
这段代码其实就是嵌套了 2 层 n 循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²)。如果将其中一层循环的 n 改成 m，即：
for(x=1; i<=m; x++)
{
for(i=1; i<=n; i++)
{
j = i;
j++;
}
}
那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
6️⃣立方阶O(n³) 相当于三层 n 循环、K次方阶O(n^k)相当于 k 层 n 循环。
除此之外，其实还有平均时间复杂度、均摊时间复杂度、最坏时间复杂度、最好时间复杂度的分析方法。
三、空间复杂度S(n)=O(f(n))
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度，同样反映的是一个趋势，用 S(n) 来定义。空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)。
1️⃣空间复杂度 O(1)
如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量 n 的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。如：
int i = 1; int j = 2; ++i; j++; int m = i + j;
代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)。
2️⃣空间复杂度 O(n)
int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
j = i;
j++;
}
代码中，第一行 new 了一个数组出来，这个数据占用的大小为 n。这段代码的 2-6 行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)。