海伦公式（Heron’s formula）

2023年8月4日 | 分类: 【概念】

海伦公式（Heron’s formula）又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。

海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积\(S\)可由海伦公式求得：

\({S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

公式里的\(p\) 为半周长（周长的一半），即：

\({p}=\frac{a+b+c}{2}\)

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

【扩展】

将\(p\)代入公式：

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(S=\sqrt{{\frac{1}{16}}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}\)
\(S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}\)

扩展1：设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为\(r\)，则三角形面积：

\(S=\dfrac{a+b+c}{2}\cdot{r}\)

可因此求内切圆半径\(r\)：

例：a=3 b=4 c=5 p=6 S=6 r=1

\(6=\dfrac{3+4+5}{2}\cdot{r}\)
\(r=1\)

扩展2：设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为\(R\)，则三角形面积：

\(S=\dfrac{{a}\cdot{b}\cdot{c}}{{4}\cdot{R}}\)

可因此求外切圆半径\(R\)：

例：a=3 b=4 c=5 p=6 S=6 R=2.5

\(6=\dfrac{{3}\cdot{4}\cdot{5}}{{4}\cdot{R}}\)
\(R=2.5\)

扩展3：已知三角形底a，高h，则三角形面积：

\(S=\dfrac{{a}\cdot{h}}{2}\)

扩展4：设三角形已知两条边分别为a、b，这两条边夹角C，则三角形面积等于两夹边之积乘夹角的正弦值：

\(S=\dfrac{{a}\cdot{b}}{2}\cdot\sin{C}\)